Дзеркало у формі напівсфери помістили у широкий пучок світла, що іде паралельно вісі симетрії дзеркала. Знайти максимальний кут між променями у відбитому пучку (кут розходження). Як зміниться відповідь якщо всередині дзеркала буде знаходитись склана сфера такомого самого радіуса з показником заломлення n=2

Умова

Дзеркало у формі напівсфери помістили у широкий пучок світла, що іде паралельно вісі симетрії дзеркала. Знайти максимальний кут між променями у відбитому пучку (кут розходження). Як зміниться відповідь якщо всередині дзеркала буде знаходитись склана сфера такомого самого радіуса з показником заломлення n=2

Розв'язок

Перша частина (сферичне дзеркало): Припустимо промінь CAB є тим що дає максимальний кут відхилення вниз. Кут падіння ÐОАС дорівнює куту відбиття ÐОАВ. З іншого так як поверхня дзеркала сфера то трикутник ΔОАВ рівнобедрений (ОА=ОВ=R), а це означає ÐОАВ=ÐОВА. Трикутник ΔАВС є прямокутним що означає ÐСАО+ÐОАВ+ÐОВА=3ÐСАО=90. Що означає кут відхилення променя АВ – 60, а повний кут розходження – 120.

Друга частина (скляна куля):

Тепер крім сферичного дзеркала ми ще маємо скляну кулю такого ж радіуса вставлену всередину. Відповідно початку відбувається заломлення променів на поверхні кулі потім відбиття від дзеркала після чого відбувається друге заломлення на виході. Розглянемо поки що довільний промінь АВС що пройшов та вийшов з системи. Позначимо кут падіння a. Кут заломлення ÐВАО позначимо b. Як і перед цим використаємо той факт що поверхня сферична: DАОВ та DОВС є рівнобедреними (АО=ОВ та ВО=ОС відповідно) що означає ÐВАО=ÐОВА=ÐОВС=ÐОСВ=b (тут ще використано що кут падіння дорівнює куту відбиття). А кут ÐОСВ є кутом падіння проміння під час виходу зі сфери, а це означає що вийде промінь під кутом a. Кут відхилення вихідного променя це кут між променем та прямою паралельною осі системи, на малюнку він позначений як d. За малюнком бачимо що d+a=ÐСОО`. Далі бачимо що 360=ÐАОС+ÐАОВ+ÐВОС=(ÐСОО`+ÐАОО`)+(180-2b)+(180-2b)=(2a+d)+360-4b.

Таким чином ми отримали:2a+d=4b.

З іншого боку кути a та b зв’язані законом заломлення: sin(a)=nsin(b). Отримуємо тригонометричну рівність

Ця функція є монотонною на проміжку можливих значень кута a:

А відповідно свого максимуму вона досягає на границі – тобто при a=90. Це дає значення кута відхилення d=60 як і попередньому випадку (хоча цей є збіг – це виконується ільки при показнику заломлення 2)