Знайти момент інерції кубу відносно осей, що проходять крізь центр мас кубу в площині двох його діагоналей під кутами 85^o та -5^o до однієї з діагоналей відповідно. Маса кубу - M, довжина ребра - a.

Умова

Знайти момент інерції кубу відносно осей, що проходять крізь центр мас кубу в площині двох його діагоналей під кутами 85^o та -5^o до однієї з діагоналей відповідно. Маса кубу - M, довжина ребра - a.

Розв'язок

По-перше нагадаємо що тензор інерції при повороті базису перетворюється за формулою:

Де S – ортогональна матриця перетворення базису

Далі, за умовою задачі, нам потрібно знайти момент інерції кубу, а він є одним з не багатьох тіл, тензор інерції якого в головних осях можна представити не просто як діагональну матрицю, а як одиничну помножену на скаляр (кажуть еліпсоїд інерції – сфера).

Тоді:

а) знаходимо тензор інерції в головних осях (так як він симетричний то відносно будь якої вісі). Фактично це треба знайти момент інерції пластини:

б) перейдемо до повернутих осей координат за допомогою перетворення тензора, але як було вказано тензор інерції кубу пропорційний одиничній матриці – відповідно перетворення її не змінить, а це означає що тензор інерції буде в будь яких осях виглядати як: